ARC047D ナナメクエリ
変わった解法？
問題概要(原文)
$N \times N$ のマス目の全てのマスに $0$ が書かれている．上から $x$ 行，左から $y$ 列目のマスを $(x,y)$ と表すことにする．
以下の $Q$ 個の $3$ 種類のクエリを処理せよ．
- $A \leq x+y \leq B$ を満たす $(x,y)$ に $C$ を加算せよ
- $A \leq x-y \leq B$ を満たす $(x,y)$ に $C$ を加算せよ
- $A \leq x \leq B,\; C \leq y \leq D$ を満たす $(x,y)$ のマスに含まれる最大の値 $X$ とその値のマスの数 $Y$ を求めよ
考察
$2$ 次元クエリだが，加算したり求める方向が違うのが厄介な問題．
種類 $1,2$ に対する更新は $O(N)$ で処理でき，参照も $O(1)$ でできる(種類 $1,2$ だけなら Fenwick Tree などを用いれば高速にできるが，今回はその必要はない)．
長方形に対するクエリでなく，正方形に対するクエリにして考えてみよう． 簡単のため， $0 \leq x \leq N, 0 \leq y \leq N$ に対するクエリだけ考える． $x+y$ が増加するように斜めに走査する．このとき，$x-y$ は $\{ 0 \}, \{-1, 1 \}, \{ -2,0,2 \}, \ldots, $ となる．このとき，以下の特徴がある．
- $x-y$ は 奇数だけの列，偶数だけの列を交互になす
- $x-y$ は じわじわ両側に伸びて，また縮む
これは正方形を $2$ つの直角二等辺三角形に分けて考えると，奇数番目，偶数番目をじわじわ伸ばすようにして $O(1)$ で更新できる．
すると， $1$ 辺が $N$ の正方形 $1$ つに対して $O(N)$ でクエリが処理できる．
長方形をユークリッドの互除法の要領で分割していくと，サイズが半分ずつになっていき，それごとにサイズの線形時間かかる． この計算量は $N(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots )$ となって， $O(N)$ である．
全体の計算量は $O(NQ)$
ソースコード
using System;
using System.Linq;
using System.Linq.Expressions;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
using System.Numerics;
using Number = System.Int64;
namespace Program
{
public class Solver
{
public void Solve()
{
var n = sc.Integer();
var q = sc.Integer();
var A = new int[2 * n];
var B = new int[2 * n + 1];
B[2 * n] = int.MinValue;
Func<int, int, int, int, Pair<int, int>> get = null;
get = (a, b, c, d) =>
{
if (a < 0 || b >= n || c < 0 || d >= n) return new Pair<int, int>(int.MinValue, 0);
var dx = b - a;
var dy = d - c;
if (dx < 0 || dy < 0) return new Pair<int, int>(int.MinValue, 0);
Debug.WriteLine("{0} {1} {2} {3}", a, b, c, d);
var ret = new Pair<int, int>(int.MinValue, 0);
if (dx != dy)
{
var min = Math.Min(dx, dy);
var aa = new Pair<int, int>[3]
{
get(a, a + min, c, c + min),
get(a + min + 1, b, c, c + min),
get(a, a + min, c + min + 1, d)
};
foreach (var kv in aa)
{
if (ret.x < kv.x) { ret.x = kv.x; ret.y = kv.y; }
else if (ret.x == kv.x) ret.y += kv.y;
}
return ret;
}
else
{
{
var u = new Pair<int, int>(B[a - c + n], 1);
var v = new Pair<int, int>(int.MinValue, 0);
var l = a - c;
var r = a - c;
for (int i = a + c; i <= b + c; i++)
{
var x = A[i];
if (ret.x < x + u.x) { ret.x = x + u.x; ret.y = u.y; }
else if (ret.x == x + u.x) ret.y += u.y;
l--;
r++;
if (v.x < B[l + n]) { v.x = B[l + n]; v.y = 1; }
else if (v.x == B[l + n]) v.y++;
if (v.x < B[r + n]) { v.x = B[r + n]; v.y = 1; }
else if (v.x == B[r + n]) v.y++;
Swap(ref u, ref v);
}
}
{
var u = new Pair<int, int>(B[b - d + n], 1);
var v = new Pair<int, int>(int.MinValue, 0);
var l = b - d;
var r = b - d;
for (int i = b + d; i > b + c; i--)
{
var x = A[i];
if (ret.x < x + u.x) { ret.x = x + u.x; ret.y = u.y; }
else if (ret.x == x + u.x) ret.y += u.y;
l--;
r++;
if (v.x < B[l + n]) { v.x = B[l + n]; v.y = 1; }
else if (v.x == B[l + n]) v.y++;
if (v.x < B[r + n]) { v.x = B[r + n]; v.y = 1; }
else if (v.x == B[r + n]) v.y++;
Swap(ref u, ref v);
}
}
return ret;
}
};
for (int i = 0; i < q; i++)
{
var t = sc.Integer();
if (t == 1)
{
var a = sc.Integer();
var b = sc.Integer();
var v = sc.Integer();
for (int x = a; x <= b; x++)
A[x] += v;
}
else if (t == 2)
{
var a = sc.Integer();
var b = sc.Integer();
var v = sc.Integer();
for (int x = a; x <= b; x++)
B[x + n] += v;
}
else
{
var a = sc.Integer();
var b = sc.Integer();
var c = sc.Integer();
var d = sc.Integer();
var ans = get(a, b, c, d);
IO.Printer.Out.WriteLine("{0} {1}", ans.x, ans.y);
}
}
}
public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
}
}
#region main
static class Ex
{
static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
static public void Main()
{
var solver = new Program.Solver();
solver.Solve();
Program.IO.Printer.Out.Flush();
}
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
using System.IO;
using System.Text;
using System.Globalization;
public class Printer: StreamWriter
{
static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
public static Printer Out { get; set; }
public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
}
public class StreamScanner
{
public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
public readonly Stream str;
private readonly byte[] buf = new byte[1024];
private int len, ptr;
public bool isEof = false;
public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
private byte read()
{
if (isEof) return 0;
if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
return buf[ptr++];
}
public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }
public string Scan()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public string ScanLine()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
if (b == 0) break;
else if (b != '\r') sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public long Long()
{
if (isEof) return long.MinValue;
long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
do b = read();
while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
if (b == 0) return long.MinValue;
if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
for (; true; b = read())
{
if (b < '0' || '9' < b)
return ng ? -ret : ret;
else ret = ret * 10 + b - '0';
}
}
public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
return a;
}
public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
}
}
#endregion
#region Compair
static public class Pair
{
static public Pair<FT, ST> Create<FT, ST>(FT f, ST s) where FT : IComparable<FT> where ST : IComparable<ST>
{
return new Pair<FT, ST>(f, s);
}
static public Pair<FT, ST> Min<FT, ST>(Pair<FT, ST> p, Pair<FT, ST> q) where FT : IComparable<FT> where ST : IComparable<ST>
{
return (p.CompareTo(q) <= 0) ? p : q;
}
static public Pair<FT, ST> Max<FT, ST>(Pair<FT, ST> p, Pair<FT, ST> q) where FT : IComparable<FT> where ST : IComparable<ST>
{
return (p.CompareTo(q) >= 0) ? p : q;
}
}
public struct Pair<FT, ST>: IComparable<Pair<FT, ST>> where FT : IComparable<FT> where ST : IComparable<ST>
{
public FT x;
public ST y;
public Pair(FT f, ST s) : this() { x = f; y = s; }
public int CompareTo(Pair<FT, ST> other)
{
var cmp = x.CompareTo(other.x);
return cmp != 0 ? cmp : y.CompareTo(other.y);
}
public override string ToString() { return string.Format("{0} {1}", x, y); }
}
#endregion
コメント
- 解法に気づいても実装がちょっと大変
