ARC031D 買い物上手
これは簡単
問題概要(原文)
$M$ 個の品物があり $i$ 番目の値段は $T_i$ である．買った品物でできた集合の部分集合に特定のものが含まれているとき，経験値 $S_i$ が得られる，というようなものが $N$ 個ある．
得られた経験値の総和 / 使った金額の総和 を最大化せよ．
考察
この形は答えで二分探索するとよい．
答えを $x$ とすると， 得られた経験値の総和 - 使った金額の総和 * $x$ が $0$ 以上となるような解があるか？ という判定問題になる．
ここで以下のように考える．
- $i$ 番の組合せを達成すると $S_i$ もらえる．
- $i$ 番の組合せを達成しないと $0$ かかる
- $i$ 番の品物を買うと $T_i \times x$ かかる
- $i$ 番の品物を買わないと $0$ かかる
これをさらに変形すると，
- 最初に $\sum_{i = 1}^{N}{S_i}$ もっている
- $i$ 番の組合せを達成すると $0$ かかる
- $i$ 番の組合せを達成しないと $S_i$ かかる
- $i$ 番の品物を買うと $T_i \times x$ かかる
- $i$ 番の品物を買わないと $0$ かかる
- $i$ 番の品物を買わないとき，それがないと達成できなくなるような $j$ 番の組合せが達成できていると $10^9$ かかる
こうすると，最小カットで解ける形になる．具体的には以下のように辺を張る
- ソースから $i$ 番の組合せに流量 $0$ の辺を張る
- $i$ 番の組合せからシンクに流量 $S_i$ の辺を張る
- ソースから $i$ 番の品物に流量 $T_i \times x$ の辺を張る
- $i$ 番の品物からシンクに流量 $0$ の辺を張る
- $i$ 番の品物から，それがないと達成できなくなるような $j$ 番の組合せに流量 $10^9$ の辺を張る
計算量は $O((N+M)^2 log(X))$ ぐらい
ソースコード
using System;
using System.Linq;
using System.Linq.Expressions;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
using System.Numerics;
using Number = System.Int64;
using C = System.Double;
namespace Program
{
public class Solver
{
public void Solve()
{
var n = sc.Integer();
var m = sc.Integer();
var s = sc.Integer(n);
var t = sc.Integer(m);
var A = Enumerate(n, x => new List<int>());
for (int i = 0; i < n; i++)
{
var k = sc.Integer();
for (int j = 0; j < k; j++)
A[i].Add(sc.Integer() - 1);
}
var l = 0.0; var r = s.Sum() + 1.0;
Func<double, bool> f = X =>
{
var G = Enumerate(n + m + 2, x => new List<Edge>());
var src = n + m;
var sink = n + m + 1;
var val = s.Sum();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
//G.AddDirectedEdge(src, i, 0);
G.AddDirectedEdge(i, sink, s[i]);
foreach (var j in A[i])
G.AddDirectedEdge(n + j, i, 1000000000);
}
for (int i = 0; i < m; i++)
{
G.AddDirectedEdge(src, n + i, t[i] * X);
//G.AddDirectedEdge(n + i, sink, 0.0);
}
var flow = Flow.GetMaxFlow(G, src, sink);
return val > flow;
};
for (int _ = 0; _ < 60; _++)
{
var u = (l + r) / 2;
if (f(u)) l = u;
else r = u;
}
IO.Printer.Out.WriteLine(r);
}
public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
}
}
#region main
static class Ex
{
static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
static public void Main()
{
var solver = new Program.Solver();
solver.Solve();
Program.IO.Printer.Out.Flush();
}
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
using System.IO;
using System.Text;
using System.Globalization;
public class Printer: StreamWriter
{
static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
public static Printer Out { get; set; }
public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
}
public class StreamScanner
{
public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
public readonly Stream str;
private readonly byte[] buf = new byte[1024];
private int len, ptr;
public bool isEof = false;
public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
private byte read()
{
if (isEof) return 0;
if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
return buf[ptr++];
}
public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }
public string Scan()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public string ScanLine()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
if (b == 0) break;
else if (b != '\r') sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public long Long()
{
if (isEof) return long.MinValue;
long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
do b = read();
while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
if (b == 0) return long.MinValue;
if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
for (; true; b = read())
{
if (b < '0' || '9' < b)
return ng ? -ret : ret;
else ret = ret * 10 + b - '0';
}
}
public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
return a;
}
public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
}
}
#endregion
#region Edge
public class Edge
{
public int to, rev;
public C cap;
public Edge(int t, int r, C _cap) { to = t; rev = r; cap = _cap; }
public override string ToString() { return string.Format("{0}: Capacity {1}", to, cap); }
}
#endregion
#region AddEdge
static public partial class Flow
{
static public void AddDirectedEdge(this List<Edge>[] G, int from, int to, C cap)
{
G[from].Add(new Edge(to, G[to].Count, cap));
G[to].Add(new Edge(from, G[from].Count - 1, 0));
}
static public void AddUndirectedEdge(this List<Edge>[] G, int from, int to, int cap)
{
G[from].Add(new Edge(to, G[to].Count, cap));
G[to].Add(new Edge(from, G[from].Count - 1, cap));
}
}
#endregion
//MaxFlow
#region Dinic
static public partial class Flow
{
static public C GetMaxFlow(List<Edge>[] G, int s, int t, C INF = -1)
{
var n = G.Length;
var level = new int[n];
var iter = new int[n];
Action<int> bfs = p =>
{
Array.Clear(level, 0, n);
var q = new Queue<int>();
level[s] = 1;
q.Enqueue(s);
while (q.Count > 0)
{
var v = q.Dequeue();
foreach (var e in G[v])
if (e.cap > 1e-6 && level[e.to] == 0)
{
level[e.to] = level[v] + 1;
q.Enqueue(e.to);
}
}
};
Func<int, int, C, C> dfs = null;
dfs = (v, u, f) =>
{
if (v == t) return f;
var ret = 0.0;
for (; iter[v] < G[v].Count; iter[v]++)
{
var e = G[v][iter[v]];
if (e.cap <= 0 || level[v] >= level[e.to]) continue;
var d = dfs(e.to, u, Math.Min(f, e.cap));
if (d <= 0) continue;
e.cap -= d;
G[e.to][e.rev].cap += d;
ret += d; f -= d;
if (f == 0) break;
}
return ret;
};
C flow = 0.0;
if (INF == -1) INF = C.MaxValue;
while (INF > 0)
{
bfs(s);
if (level[t] == 0) return flow;
Array.Clear(iter, 0, iter.Length);
C f;
while ((f = dfs(s, t, INF)) > 1e-6) { flow += f; }
}
return flow;
}
}
#endregion
コメント
- ┣¨典型の燃やす埋めるに┣¨典型二分法がくっついただけ
