ARC020D お菓子の国の旅行
昔はさっぱりだったけど，今ムンってやったら解けた
問題概要(原文)
数直線上に $N (2 \leq N \leq 100)$ 個の点があり，左から $i$ 番目の点と $i+1$ 番目の点の距離は $D_i(1 \leq D_i \leq M)$ である．
ここから $K (1 \leq K \leq min(10,N))$ 箇所選んで，好きな順番で(最短経路で移動して)訪れる．このとき，移動距離の総和が $M$ の倍数となるような移動の仕方は何通りかあるか？ $\text{mod}\; 10^{9} + 7$ で求めよ．
考察
同じ点を訪れてはいけない，という点が難しい． $N$ が比較的大きいため $O(2^N)$ では間に合わない．$K$ が小さいことに着目していこう．
いま，左から $i$ 番目の点にいて，既にいくつかの点をすでに訪れている，と考える．このとき， $i$ 番目の点から $i+1$ 番目の間を何回移動するかを考えよう．
$k$ 番目に訪れようと思っていた点が $i$ 番目以前にあり， $k+1$ 番目に訪れようと思っていた点が $i+1$ 番目 以降にあったとき， $1$ 度通らないといけない． また，$k$ 番目に訪れようと思っていた点が $i$ 番目以前にあり， $k-1$ 番目に訪れようと思っていた点が $i+1$ 番目以降にあったときも， $1$ 度通らないといけない．
このようにして考えていくと， $i$ 番目の点と $i+1$ 番目の点を通る回数が求まる．あとは， $i+1$ 番目の点を単に通過するか， $k$ 番目に訪れる点にするかを全部試す．
状態は $O(N \times 2^{K} \times M)$ ，遷移は $O(K)$ で試せるので， $O(N \times 2^K \times M \times K)$ となる．
ソースコード
using System;
using System.Linq;
using System.Linq.Expressions;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
using System.Numerics;
using Number = System.Int64;
using C = System.Double;
namespace Program
{
public class Solver
{
public void Solve()
{
var n = sc.Integer();
var m = sc.Integer();
var K = sc.Integer();
var dp = new ModInteger[1 << K, m];
for (int i = 0; i < K; i++)
dp[1 << i, 0] = 1;
ModInteger ans = 0;
for (int _ = 0; _ < n - 1; _++)
{
var d = sc.Integer();
var next = new ModInteger[1 << K, m];
for (int i = 0; i < K; i++)
next[1 << i, 0] = 1;
for (int i = 0; i < (1 << K) - 1; i++)
for (int j = 0; j < m; j++)
{
if (dp[i, j].num == 0) continue;
var nj = j;
for (int k = 0; k < K - 1; k++)
{
var x = (i >> k & 1) ^ (i >> (k + 1) & 1);
if (x == 0) continue;
nj += d;
}
nj %= m;
next[i, nj] += dp[i, j];
for (int k = 0; k < K; k++)
{
if ((i >> k & 1) == 1) continue;
next[i | (1 << k), nj] += dp[i, j];
}
}
ans += next[(1 << K) - 1, 0];
dp = next;
}
IO.Printer.Out.WriteLine(ans);
}
public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
}
}
#region main
static class Ex
{
static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
static public void Main()
{
var solver = new Program.Solver();
solver.Solve();
Program.IO.Printer.Out.Flush();
}
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
using System.IO;
using System.Text;
using System.Globalization;
public class Printer: StreamWriter
{
static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
public static Printer Out { get; set; }
public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
}
public class StreamScanner
{
public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
public readonly Stream str;
private readonly byte[] buf = new byte[1024];
private int len, ptr;
public bool isEof = false;
public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
private byte read()
{
if (isEof) return 0;
if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
return buf[ptr++];
}
public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }
public string Scan()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public string ScanLine()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
if (b == 0) break;
else if (b != '\r') sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public long Long()
{
if (isEof) return long.MinValue;
long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
do b = read();
while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
if (b == 0) return long.MinValue;
if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
for (; true; b = read())
{
if (b < '0' || '9' < b)
return ng ? -ret : ret;
else ret = ret * 10 + b - '0';
}
}
public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
return a;
}
public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
}
}
#endregion
#region ModNumber
public partial struct ModInteger
{
public const long Mod = (long)1e9 + 7;
public long num;
public ModInteger(long n) : this() { num = n % Mod; if (num < 0) num += Mod; }
public override string ToString() { return num.ToString(); }
public static ModInteger operator +(ModInteger l, ModInteger r) { var n = l.num + r.num; if (n >= Mod) n -= Mod; return new ModInteger() { num = n }; }
public static ModInteger operator -(ModInteger l, ModInteger r) { var n = l.num + Mod - r.num; if (n >= Mod) n -= Mod; return new ModInteger() { num = n }; }
public static ModInteger operator *(ModInteger l, ModInteger r) { return new ModInteger(l.num * r.num); }
public static ModInteger operator ^(ModInteger l, long r) { return ModInteger.Pow(l, r); }
public static implicit operator ModInteger(long n) { return new ModInteger() { num = n }; }
public static ModInteger Pow(ModInteger v, long k)
{
ModInteger ret = 1;
var n = k;
for (; n > 0; n >>= 1, v *= v)
{
if ((n & 1) == 1)
ret = ret * v;
}
return ret;
}
}
#endregion
コメント
- おもしろい
- $K$ についてのFPTといえる？分割数で考えるともう少しオーダーがよくなるらしい
