AGC016F Games on DAG
これすごい
問題概要(原文)
$N$ 頂点 $M$ 本の有向辺からなる DAG が与えられる． 頂点 $1,2$ に駒を置いて，$2$ 人ゲームをする．ルールは以下の通りである．
- 手番のプレイヤーは駒を $1$ つ選んで，辺に沿って動かす
- 動かせなかったプレイヤーの負け
辺の有無を $2^{M}$ 通り考えた時，先手が勝つようなグラフは何通りあるか？
考察
駒が $1$ つしかない場合を考える．これは典型的な grundy 数のゲームであることが言える．(以下のスライドを参照されたい)
さて，$f(v)$ を頂点 $v$ の grundy 数としたとき，先手が勝つという条件は $f(1) \neq f(2)$ である．
grundy 数の定義より，$f(v):= \mathrm{mex}(f(t_{1}),f(t_{2}),\ldots)$ となる． $v$ の grundy 数が $x$ となるような条件をグラフ理論の言葉でいうと，
- $v$ からは grundy 数が $0$ であるような頂点への辺が(少なくとも $1$ つ)存在する
- $v$ からは grundy 数が $1$ であるような頂点への辺が(少なくとも $1$ つ)存在する
- :
- $v$ からは grundy 数が $x-1$ であるような頂点への辺が(少なくとも $1$ つ)存在する
- $v$ からは grundy 数が $x$ であるような頂点への辺が存在しない
- $v$ からは grundy 数が $x$ より大きいような頂点への辺は存在してもしなくてもよい
ここから，$\mathrm{dp}[S,x] =$ 頂点集合 $S$ からなるグラフであって，grundy 数の最大値が $x$ となるような辺の張り方の個数，というのを考える．
$\mathrm{dp[S,x]}$ を求めるには， $T$ を grundy 数が $T$ であるような $S$ の部分集合として，$S$ に含まれない頂点から $T$ に含まれる頂点へ少なくとも $1$ 本以上辺が存在するような辺の張り方の総数 $a$ と，$S \setminus T$ への辺の張り方の総数 $b$ と $dp[S \setminus T, x-1]$ の積を，ありうる $T$ 全てについて求めて総和を取ればよい．(このとき，$1,2$ の grundy 数が同じになるようになってはならない)
さらに，落ち着いて遷移を眺めていくと，現在の grundy 数の値はどうでもよいことが分かり，単に $\mathrm{dp}[S]$ として同様の遷移を行えばよい．
計算量は適切に前処理などをすると $O(3^{N}N)$
ソースコード
using System;
using System.Linq;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using SB = System.Text.StringBuilder;
//using System.Numerics;
using Number = System.Int64;
using static System.Math;
//using static MathEx;
//using P = System.Collections.Generic.KeyValuePair<int, int>;
namespace Program
{
public class Solver
{
public void Solve()
{
var n = ri;
var m = ri;
var g = new int[n];
var rg = new int[n];
var dp = new long[1 << n];
for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
dp[i] = -1;
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
var x = ri - 1;
var y = ri - 1;
g[x] |= 1 << y;
rg[y] |= 1 << x;
}
var C = new int[1 << n, n];
for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
{
C[i, j] = (1 << PopCount(g[j] & i)) - 1;
C[i, j] *= 1 << PopCount(rg[j] & i);
}
const long MOD = (long)1e9 + 7;
Func<int, long> f = null;
f = (mask) =>
{
if (dp[mask] >= 0) return dp[mask];
long ret = 0;
for (int sub = mask; sub > 0; sub = (sub - 1) & mask)
{
if ((sub & 3) == 3) continue;
var rem = mask ^ sub;
var ok = true;
long pat = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if ((mask >> i & 1) == 1) continue;
pat = (pat * C[sub, i]) % MOD;
}
if (ok)
ret = (ret + pat * f(rem)) % MOD;
}
return dp[mask] = ret;
};
IO.Printer.Out.WriteLine(f((1 << n) - 1));
}
int PopCount(int x)
{
var ret = 0;
while (x != 0)
{
ret += x & 1;
x /= 2;
}
return ret;
}
//*
int ri => sc.Integer();
long rl => sc.Long();
double rd => sc.Double();
string rs => sc.Scan();
char rc => sc.Char();
[System.Diagnostics.Conditional("DEBUG")]
void put(params object[] a) => Debug.WriteLine(string.Join(" ", a));
//*/
public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i);
return a;
}
static void Swap<T>(ref T a, ref T b)
{
var tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
}
}
#region main
static class Ex
{
public static string AsString(this IEnumerable<char> ie)
{
return new string(ie.ToArray());
}
public static string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ")
{
return string.Join(st, ie);
}
public static void Main()
{
var solver = new Program.Solver();
solver.Solve();
Program.IO.Printer.Out.Flush();
}
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
using System.IO;
using System.Text;
using System.Globalization;
public class Printer: StreamWriter
{
static Printer()
{
Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false };
}
public static Printer Out { get; set; }
public override IFormatProvider FormatProvider
{
get { return CultureInfo.InvariantCulture; }
}
public Printer(Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true))
{
}
public Printer(Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding)
{
}
public void Write<T>(string format, T[] source)
{
base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray());
}
public void WriteLine<T>(string format, T[] source)
{
base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray());
}
}
public class StreamScanner
{
public StreamScanner(Stream stream)
{
str = stream;
}
public readonly Stream str;
private readonly byte[] buf = new byte[1024];
private int len, ptr;
public bool isEof;
public bool IsEndOfStream
{
get { return isEof; }
}
private byte read()
{
if (isEof) return 0;
if (ptr < len) return buf[ptr++];
ptr = 0;
if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) > 0) return buf[ptr++];
isEof = true;
return 0;
}
public char Char()
{
byte b;
do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof);
return (char)b;
}
public string Scan()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public string ScanLine()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
if (b == 0) break;
else if (b != '\r') sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public long Long()
{
if (isEof) return long.MinValue;
long ret = 0;
byte b;
var ng = false;
do b = read(); while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
if (b == 0) return long.MinValue;
if (b == '-')
{
ng = true;
b = read();
}
for (; ; b = read())
{
if (b < '0' || '9' < b)
return ng ? -ret : ret;
ret = ret * 10 + b - '0';
}
}
public int Integer()
{
return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long();
}
public double Double()
{
var s = Scan();
return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN;
}
static T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
return a;
}
public char[] Char(int n)
{
return enumerate(n, Char);
}
public string[] Scan(int n)
{
return enumerate(n, Scan);
}
public double[] Double(int n)
{
return enumerate(n, Double);
}
public int[] Integer(int n)
{
return enumerate(n, Integer);
}
public long[] Long(int n)
{
return enumerate(n, Long);
}
}
}
#endregion
