CF228D1C Fox and Card Game
いい問題だなぁ
問題概要(原文)
$2$ 人が $N$ 個のデックを使ったゲームをする． ターンは交互に訪れる．
- 先手のプレイヤーは $N$ 個あるデックから $1$ つを選び先頭の数を取り除く
- 後手のプレイヤーは $N$ 個あるデックから $1$ つを選び末尾の数を取り除く
取り除けなくなったら終了．
得点は取り除いた数の総和となる． $2$ 人が最適に行動したときの得点をそれぞれ求めよ．
考察
まず，このゲームは二人零和有限確定完全情報ゲームである． よって先手が得した分だけ後手は損する．
さて，まず可能な実行解を考えよう． 簡単のため，数列の長さはどれも偶数であるとする．
後手は最悪でも，$N$ 個全ての数列を半分ずつ取るような手を打つことができる(先手が取った場所から取るだけ) 同様に先手も最悪でも，$N$ 個全ての数列を半分ずつ取るような手を打つことができる( $1$ 手打ったあと，後手の真似をするだけ)
実はこれが最適である． 先手がこの手より多く取ろうとするのを後手は防ぐことが可能であり，同様に後手がこの手より多く取ろうとするのを先手も防ぐことができる．
さて，数列に奇数長が $1$ つだけ含まれている場合を考えよう． この場合，中央の数は必ず先手が取ることができる． では $2$ ではどうか？片方は先手が，もう片方は必ず後手が取ることができる． 以下同様に，中央の数は交互に取り合うことになる．
結論からいえば，偶数長は先頭半分を先手が，残りを後手が手に入れる． 奇数長の場合，先手と後手が交互に中央の数を取る．
このとき大きい順に取るのが最適なことは明らかである．
ソースコード
using System;
using System.Linq;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
using System.Numerics;
using Point = System.Numerics.Complex;
using Number = System.Int64;
namespace Program
{
public class Solver
{
public void Solve()
{
var n = sc.Integer();
var sum = 0L;
var ans = 0L;
var b = new List<int>();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
var k = sc.Integer();
var a = sc.Integer(k);
sum += a.Sum();
ans += a.Take(k / 2).Sum();
if (k % 2 != 0) b.Add(a[k / 2]);
}
b.Sort(); b.Reverse();
for (int i = 0; i < b.Count; i += 2)
ans += b[i];
IO.Printer.Out.WriteLine("{0} {1}", ans, sum - ans);
}
public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
}
}
#region main
static class Ex
{
static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
static public void Main()
{
var solver = new Program.Solver();
solver.Solve();
Program.IO.Printer.Out.Flush();
}
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
using System.IO;
using System.Text;
using System.Globalization;
public class Printer: StreamWriter
{
static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
public static Printer Out { get; set; }
public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
}
public class StreamScanner
{
public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
public readonly Stream str;
private readonly byte[] buf = new byte[1024];
private int len, ptr;
public bool isEof = false;
public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
private byte read()
{
if (isEof) return 0;
if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
return buf[ptr++];
}
public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }
public string Scan()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public string ScanLine()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
if (b == 0) break;
else if (b != '\r') sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public long Long()
{
if (isEof) return long.MinValue;
long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
do b = read();
while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
if (b == 0) return long.MinValue;
if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
for (; true; b = read())
{
if (b < '0' || '9' < b)
return ng ? -ret : ret;
else ret = ret * 10 + b - '0';
}
}
public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
return a;
}
public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
}
}
#endregion
コメント
- 戦略の均衡みたいのを考えるのがよいという話
