AGC006D Median Pyramid Hard

• January 3, 2017
• AtCoder, Interesting, Educational

ムズい

問題概要(原文)

$N$ 段のピラミッドがある．各ブロックには数が書かれている． 下から $i$ 段目の左から $j$ 番目のブロックに書かれた数を $A_{i,j}$ として， $A(i,j) = \mathrm{median} {A(i+1,j),A(i+1,j+1),A(i+1,j+2) }$ である．

$A(1,1),A(1,2),\ldots,A(1,2N-1)$ が分かっているとき，$A(N,1)$ を求めよ． なお，最下段は $(1,2,3,\ldots,2N-1)$ を並び替えた数列である．

考察

愚直にシミュレーションすると $O(N^2)$ で明らかに無理． 答えを二分探索できないか？

つまり答えが $x$ 以上になりうるか？という問題だと思ってみよう． このとき，どの数も $x$ 以上かどうかだけに興味がある．よって $0,1$ のみを取りうると考えて良く頂上の値が $1$ になるかどうかが知りたい．

こうしたとき，良い性質を持っている． ある段において左から $i$ 番目と $i+1$ 番目の値が一致したならば，それより上もどれも一致する． さらに，$0,1,0,1 \ldots$ と交互に並んでいる場所は上の段では $1,0,1,0 \ldots$ と交互に並ぶ． さらに，その交互に並んでいる場所の長さは $2$ ずつ短くなる．

こうして短くなる区間のうち，左と右，どちらが中央に近いかで上手く決まる．

計算量は $O(N)$ でこれができるので全体として $O(N \log{N})$

ソースコード

using System;
using System.Linq;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
using System.Numerics;
using Point = System.Numerics.Complex;
using Number = System.Int64;
namespace Program
{
    public class Solver
    {

        public void Solve()
        {
            var n = sc.Integer() * 2 - 1;
            var m = n / 2;
            var a = sc.Integer(n);

            var l = 0; var r = n + 1;
            var b = new int[n];
            Func<int, int> f = x =>
                {
                    for (int i = 0; i < n; i++)
                        b[i] = (a[i] >= x ? 1 : 0);
                    int L = m, R = m;
                    while (L > 0 && b[L] != b[L - 1]) L--;
                    while (R + 1 < n && b[R] != b[R + 1]) R++;
                    return (m - L <= R - m) ? b[L] : b[R];
                };
            for (int i = 0; i < 20; i++)
                if (f((r + l) / 2) == 1) l = (r + l) / 2;
                else r = (r + l) / 2;

            IO.Printer.Out.WriteLine(l);
        }


        public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
        static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
        static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
    }
}

#region main
static class Ex
{
    static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
    static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
    static public void Main()
    {
        var solver = new Program.Solver();
        solver.Solve();
        Program.IO.Printer.Out.Flush();
    }
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
    using System.IO;
    using System.Text;
    using System.Globalization;
    public class Printer: StreamWriter
    {
        static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
        public static Printer Out { get; set; }
        public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
        public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
        public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
        public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
        public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
    }
    public class StreamScanner
    {
        public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
        public readonly Stream str;
        private readonly byte[] buf = new byte[1024];
        private int len, ptr;
        public bool isEof = false;
        public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
        private byte read()
        {
            if (isEof) return 0;
            if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
            return buf[ptr++];
        }
        public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }

        public string Scan()
        {
            var sb = new StringBuilder();
            for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
                sb.Append(b);
            return sb.ToString();
        }
        public string ScanLine()
        {
            var sb = new StringBuilder();
            for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
                if (b == 0) break;
                else if (b != '\r') sb.Append(b);
            return sb.ToString();
        }
        public long Long()
        {
            if (isEof) return long.MinValue;
            long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
            do b = read();
            while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
            if (b == 0) return long.MinValue;
            if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
            for (; true; b = read())
            {
                if (b < '0' || '9' < b)
                    return ng ? -ret : ret;
                else ret = ret * 10 + b - '0';
            }
        }
        public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
        public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
        private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
        {
            var a = new T[n];
            for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
            return a;
        }

        public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
        public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
        public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
        public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
        public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
    }
}
#endregion

コメント

• 考察が分かっててバグらせるのバカすぎる

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