AGC005D ~K Perm Counting

• January 3, 2017
• AtCoder

なんでこういう系未だに苦手なんだろうなぁ

問題概要(原文)

$(1,2,3,\ldots, N)$ の並び替えであるような数列 $a$ を考える． $N!$ 通りあるうち $|a_i - i| = K$ となるような $a_i$ が存在しないようなものはいくつあるか？

考察

存在しない条件は複雑なので少なくとも $i$ 個含むようなものが数えられるかどうか考える．

まず，ダメな条件というのは $K$ 個おきにしか関係しないことがすぐに分かる． さらに言えば， $K$ 個ずつに分けたうち，$i$ と $a_i$ で二部グラフを作ったとき下のような折れ線のようなグラフが作ったとき，マッチングとなるように取るのがダメな条件である．$(N=7, K=2)$

これを見やすく分類すると以下のようになる．

$\text{mod}\;K$ ごとに分類した頂点たちで増加するように直線グラフを作ったグラフ上でマッチングを取るようにするかどうか？ということを考えればよい． これは簡単なDPで求められる．

さて，連結成分ごとにDPで求めた値を適当に畳み込みでまとめると $N$ 頂点のグラフで少なくとも $k$ 個マッチングを持つような割当てのパターンがいくつあるかが分かる．これに $(n-k)!$ をかけてやると，少なくとも $k$ 個マッチングを持つような $a$ がいくつあるか？が分かる．

これをちょうど $k$ 個マッチングを持つ，という条件に変えたい． これは除原理で差し引いてやる． ちょうど $k+1,k+2,\ldots,N$ 個持つやつが分かっていて，ちょうど $k$ 個持つやつを求めたい．これは適当に $\binom{k+i}{k}$ 個選んだときという気持ちになって差し引けばいい．

ソースコード

using System;
using System.Linq;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
using System.Numerics;
using Point = System.Numerics.Complex;
using Number = System.Int64;
namespace Program
{
    public class Solver
    {

        public void Solve()
        {
            var n = sc.Integer();
            var k = sc.Integer();
            var a = n / k;
            var b = n % k;

            var fact = new ModInteger[2050];
            for (int i = (int)(fact[0] = 1).num; i < 2050; i++)
                fact[i] = i * fact[i - 1];

            var C = new ModInteger[4050, 4050];
            C[0, 0] = 1;
            for (int i = 0; i < 4010; i++)
                for (int j = 0; j < 4010; j++)
                {
                    C[i + 1, j] += C[i, j];
                    C[i + 1, j + 1] += C[i, j];
                }

            //dp(i,j) = i 個あって少なくとも j 個マッチングを持つ並べ方
            var dp2 = Enumerate(2050, x => new ModInteger[2050]);
            dp2[0][0] = 1;
            for (int i = 0; i < 2010; i++)
                for (int j = 0; j < 2010; j++)
                {
                    dp2[i + 1][j] += dp2[i][j];
                    dp2[i + 2][j + 1] += dp2[i][j];
                }
            var dp = new ModInteger[1];
            dp[0] = 1;
            for (int _ = 0; _ < 2; _++)
                for (int mod = 0; mod < k; mod++)
                {
                    var sz = a;
                    if (mod < b) sz++;


                    var next = new ModInteger[sz + dp.Length];

                    for (int i = 0; i < dp.Length; i++)
                        for (int j = 0; j < sz; j++)
                            next[i + j] += dp[i] * dp2[sz][j];

                    dp = next;
                }
            for (int i = n; i >= 0; i--)
            {
                dp[i] *= fact[n - i];
                for (int j = i + 1; j < dp.Length; j++)
                    dp[i] -= C[j, i] * dp[j];
            }
            IO.Printer.Out.WriteLine(dp[0]);

        }


        public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
        static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
        static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
    }
}

#region main
static class Ex
{
    static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
    static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
    static public void Main()
    {
        var solver = new Program.Solver();
        solver.Solve();
        Program.IO.Printer.Out.Flush();
    }
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
    using System.IO;
    using System.Text;
    using System.Globalization;
    public class Printer: StreamWriter
    {
        static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
        public static Printer Out { get; set; }
        public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
        public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
        public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
        public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
        public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
    }
    public class StreamScanner
    {
        public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
        public readonly Stream str;
        private readonly byte[] buf = new byte[1024];
        private int len, ptr;
        public bool isEof = false;
        public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
        private byte read()
        {
            if (isEof) return 0;
            if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
            return buf[ptr++];
        }
        public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }

        public string Scan()
        {
            var sb = new StringBuilder();
            for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
                sb.Append(b);
            return sb.ToString();
        }
        public string ScanLine()
        {
            var sb = new StringBuilder();
            for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
                if (b == 0) break;
                else if (b != '\r') sb.Append(b);
            return sb.ToString();
        }
        public long Long()
        {
            if (isEof) return long.MinValue;
            long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
            do b = read();
            while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
            if (b == 0) return long.MinValue;
            if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
            for (; true; b = read())
            {
                if (b < '0' || '9' < b)
                    return ng ? -ret : ret;
                else ret = ret * 10 + b - '0';
            }
        }
        public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
        public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
        private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
        {
            var a = new T[n];
            for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
            return a;
        }

        public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
        public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
        public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
        public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
        public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
    }
}
#endregion
#region ModNumber
public partial struct ModInteger
{
    public const long Mod = 924844033;
    public long num;
    public ModInteger(long n) : this() { num = n % Mod; if (num < 0) num += Mod; }
    public override string ToString() { return num.ToString(); }
    public static ModInteger operator +(ModInteger l, ModInteger r) { var n = l.num + r.num; if (n >= Mod) n -= Mod; return new ModInteger() { num = n }; }
    public static ModInteger operator -(ModInteger l, ModInteger r) { var n = l.num + Mod - r.num; if (n >= Mod) n -= Mod; return new ModInteger() { num = n }; }
    public static ModInteger operator *(ModInteger l, ModInteger r) { return new ModInteger(l.num * r.num); }
    public static ModInteger operator ^(ModInteger l, long r) { return ModInteger.Pow(l, r); }
    public static implicit operator ModInteger(long n) { return new ModInteger() { num = n }; }
    public static ModInteger Pow(ModInteger v, long k)
    {
        ModInteger ret = 1;
        var n = k;
        for (; n > 0; n >>= 1, v *= v)
        {
            if ((n & 1) == 1)
                ret = ret * v;
        }
        return ret;
    }
}
#endregion

コメント

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