KUPC2012J 刺身
DP加速系
問題概要(原文)
$[0,N)$ で表される区間がある．これを， $[0,1),[1,2), \ldots, [N-1,N)$ となるまで分解したい．
$[l,r)$ を $[l,i),[i,r)$ に分解するとき，コストとして， $w(l,r) = \sum_{ i = l}^{r - 1} w_{i}$ 円かかる．
いくらあれば足りるか？
考察
$dp(l,r) = $ 区間 $[l,r+1)$ をバラバラにするのにかかる金の最小値，とすると，以下のような遷移が書ける．
\[ \begin{aligned} dp(l,r) & := \begin{cases} 0 & (l = r)\\ min \left \{ dp(l,i) + dp(i+1,r) + w(l,r)\; | \;(l < i < r) \right \} & (\text{otherwise}) \end{cases} \end{aligned} \]
これは明らかに $O(N^3)$ で間に合わない． $W(l,r)$ か $dp(l,r)$ は何か良い性質を持っているのでは？という気持ちになる．
突然だが，Monge性と呼ばれるものを紹介する．二変数の関数 $f(i,j)$ が以下の性質を満たす時，Monge性を持つという．
\[ f(i,l) + f(j,k) \geq f(min(i,j),min(k,l)) + f(max(i,j),max(k,l)) = f(i,k) + f(j,l) \; | \; (i \leq j, \; k \leq l) \]
まず $w(l,r)$ は上の制約を満たす．ここで，ある関数 $f,g$ の畳込み $f*g$を
\[ \begin{aligned} (f*g)(i,j) & := min_{i \leq s < j} \left \{ f(i,s) + g(s+1,j) \right \} \end{aligned} \]
で定義する．$f,g$ がMongeのとき， $f*g$ もMongeとなる． $K(i,j)$ を右辺の $min$ を達成する $s$ とする．
\[ \begin{aligned} K(i,j) & := argmin \left \{ f(i,s) + g(s+1,j) \right \} \end{aligned} \]
最小値が複数あるときは最も右側にあるものを取ることにする．
すると $K(i,j),K(i,j+1),K(i+1,j+1)$ について以下の関係が成立する．
\[ K(i,j) \leq K(i,j+1) \leq K(i+1,j+1) \]
ここで， $X(i,j) = min_{i \leq s < j} \left \{ X(i,s) + X(s+1,j) \right \} + w(i,j)$ で定まる $X(i,j)$ は $w(i,j)$ が以下の性質をとるとき，$O(N^2)$ で解ける．
- $w(i,j)$ はMonge
- $w(i,j)$ は単調，すなわち $[i,j] \subseteq [k,l]$ のとき， $w(i,j) \leq w(k,l)$
これは Knuth-Yao Speedup というが，今回の問題はそのままこれが適用できる．
直感的な話としては，$dp(i,j)$ と $dp(i+1,j+1)$ で切る最適な位置を $l,r$ としたとき，$dp(i,j+1)$ で切る場所の最適値 $s$ は $l \leq s \leq r$ となっている．
で，マンハッタン距離 $d = i-j$ としたときに，各 $d$ の中で結局 $[0,N)$ が分割されていて，これを全部舐めるので $O(N)$ かかる． $d$ は $O(N)$ 種類あるので，結局 $O(N^2)$．
ソースコード
using System;
using System.Linq;
using System.Linq.Expressions;
using System.Collections.Generic;
using Debug = System.Diagnostics.Debug;
using StringBuilder = System.Text.StringBuilder;
//using System.Numerics;
using Number = System.Int64;
namespace Program
{
public class Solver
{
public void Solve()
{
var n = sc.Integer();
var w = new long[n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++)
w[i + 1] = sc.Long() + w[i];
var dp = new long[n + 1, n + 1];
for (int i = 0; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= n; j++)
dp[i, j] = 1L << 60;
var K = new int[n + 1, n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
dp[i, i] = 0;
K[i, i] = i;
}
for (int d = -1; d >= -(n - 1); d--)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
var j = i - d;
if (j >= n) continue;
var l = K[i, j - 1];
var r = K[i + 1, j];
for (int s = l; s <= r; s++)
{
if (dp[i, s] + dp[s + 1, j] <= dp[i, j])
{
dp[i, j] = dp[i, s] + dp[s + 1, j];
K[i, j] = s;
}
}
dp[i, j] += w[j + 1] - w[i];
}
}
IO.Printer.Out.WriteLine(dp[0, n - 1]);
}
public IO.StreamScanner sc = new IO.StreamScanner(Console.OpenStandardInput());
static T[] Enumerate<T>(int n, Func<int, T> f) { var a = new T[n]; for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f(i); return a; }
static public void Swap<T>(ref T a, ref T b) { var tmp = a; a = b; b = tmp; }
}
}
#region main
static class Ex
{
//static public string AsString(this IEnumerable<char> ie) { return new string(System.Linq.Enumerable.ToArray(ie)); }
//static public string AsJoinedString<T>(this IEnumerable<T> ie, string st = " ") { return string.Join(st, ie); }
static public void Main()
{
var solver = new Program.Solver();
solver.Solve();
Program.IO.Printer.Out.Flush();
}
}
#endregion
#region Ex
namespace Program.IO
{
using System.IO;
using System.Text;
using System.Globalization;
public class Printer: StreamWriter
{
static Printer() { Out = new Printer(Console.OpenStandardOutput()) { AutoFlush = false }; }
public static Printer Out { get; set; }
public override IFormatProvider FormatProvider { get { return CultureInfo.InvariantCulture; } }
public Printer(System.IO.Stream stream) : base(stream, new UTF8Encoding(false, true)) { }
public Printer(System.IO.Stream stream, Encoding encoding) : base(stream, encoding) { }
public void Write<T>(string format, T[] source) { base.Write(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
public void WriteLine<T>(string format, T[] source) { base.WriteLine(format, source.OfType<object>().ToArray()); }
}
public class StreamScanner
{
public StreamScanner(Stream stream) { str = stream; }
public readonly Stream str;
private readonly byte[] buf = new byte[1024];
private int len, ptr;
public bool isEof = false;
public bool IsEndOfStream { get { return isEof; } }
private byte read()
{
if (isEof) return 0;
if (ptr >= len) { ptr = 0; if ((len = str.Read(buf, 0, 1024)) <= 0) { isEof = true; return 0; } }
return buf[ptr++];
}
public char Char() { byte b = 0; do b = read(); while ((b < 33 || 126 < b) && !isEof); return (char)b; }
public string Scan()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b >= 33 && b <= 126; b = (char)read())
sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public string ScanLine()
{
var sb = new StringBuilder();
for (var b = Char(); b != '\n'; b = (char)read())
if (b == 0) break;
else if (b != '\r') sb.Append(b);
return sb.ToString();
}
public long Long()
{
if (isEof) return long.MinValue;
long ret = 0; byte b = 0; var ng = false;
do b = read();
while (b != 0 && b != '-' && (b < '0' || '9' < b));
if (b == 0) return long.MinValue;
if (b == '-') { ng = true; b = read(); }
for (; true; b = read())
{
if (b < '0' || '9' < b)
return ng ? -ret : ret;
else ret = ret * 10 + b - '0';
}
}
public int Integer() { return (isEof) ? int.MinValue : (int)Long(); }
public double Double() { var s = Scan(); return s != "" ? double.Parse(s, CultureInfo.InvariantCulture) : double.NaN; }
private T[] enumerate<T>(int n, Func<T> f)
{
var a = new T[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) a[i] = f();
return a;
}
public char[] Char(int n) { return enumerate(n, Char); }
public string[] Scan(int n) { return enumerate(n, Scan); }
public double[] Double(int n) { return enumerate(n, Double); }
public int[] Integer(int n) { return enumerate(n, Integer); }
public long[] Long(int n) { return enumerate(n, Long); }
}
}
#endregion
コメント
- Monge DPを初めて解いたけど変な感じ
